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模糊集分解定理是什么 关于模糊集分解定理的详细介绍

模糊集分解定理是模糊集合论中的一个基本定理,它揭示了模糊集与水平集之间的内在联系,一个模糊集可以分解为一套(弱)水平集,并可用这套(弱)水平集来表示。

基本介绍

模糊集的分解定理有以下三种形式:

1.设A是X上的模糊集,则

模糊集分解定理

其中A是A的α水平集,α*表示X上取常值α的模糊集。

2.设A是X上的模糊集,则

模糊集分解定理

模糊集分解定理

其中 是A的弱α水平集,α*的意义同上。

模糊集分解定理

模糊集分解定理

3.设A是X上的模糊集,P(X)表示X的所有分明子集组成的集合,如果映射 满足 ,则

模糊集分解定理

模糊集分解定理

模糊集分解定理

且 ,其中, 及α*的意义同上。

由于水平集具有保持模糊集的并、交等性质,所以模糊集的分解定理是研究模糊集性质的有力工具 [1]

相关概念及定理

λ截集

模糊集分解定理

定义1 设 ,记

模糊集分解定理

模糊集分解定理

称 为A的A截集 [2]

又记

模糊集分解定理

模糊集分解定理

称 为A的λ强截集。

模糊集分解定理

为A的核,记为kerA。

模糊集分解定理

为A的支集,记为suppA(参见图1),称suppA-kerA为A的边界 [2]

模糊集分解定理

模糊集分解定理

定理1 设 ,则截集有如下性质:

模糊集分解定理

(1)

模糊集分解定理

(2)

模糊集分解定理

(3)

模糊集分解定理

模糊集分解定理

(4)若 ,则

模糊集分解定理

模糊集分解定理

(5)若 ,则

模糊集分解定理

(6)

图2 模糊集的截集、核与支集

图2 模糊集的截集、核与支集

数积(截积)

模糊集分解定理

定义 设 ,λ与A的数积(截积)λA定义为

模糊集分解定理

即λA仍为X上的模糊集(参见图3) [2]

图3

图3

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