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等比数列产生的背景故事是什么 关于等比数列产生的背景故事的详细介绍

等比数列的前n项和公式》说课稿 今天我将要为大家讲的课题是等比数列前n项和。对于这个课题,我主要从下面六个方面来进行讲解。一、教材结构与内容分析: 《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。教学对象为高二学生,教学课时为2课时。本节课为第一课时。在此之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点。 从高中数学的整体内容来看,《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着作用性的作用。首先:数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。其次:数列有着承前启后的作用。数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。再次:数列也是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高。 本节的教学重点是等比数列前n项和公式及应用。 教学难点是等比数列前n项和公式的推导。二、教学目标分析: 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,我制定了如下的教学目标: 1、知识目标:理解等比数列前n项和公式的推导方法,掌握等比数列前n项和公式及应用。 2、能力目标:培养学生观察问题、思考问题的能力,并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。 3、情感目标:培养学生学习数学的积极性,锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。三、学生情况分析: 学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式,等差数列的前N项和的公式,具备一定的数学思想方法,能够就接下来的内容展开思考,而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。四、教学方法分析: 教法:数学是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此在教学中不仅要让学生“知其然”,还要“知其所以然”,为了体现以学生发展为本,遵循学生的认知规律,体现循序渐进和启发式教学原则,我进行这样的教学设计:在教师的引导下,创设情景,通过开放式问题的设置来启发学生进行思考,在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想,使之获得内心感受。 本节课将采用“多媒体优化组合-激励-发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素,如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合,使其融为一体,创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。学法:根据二期课改的精神,转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容,数学作为基础教育的核心学科之一,转变学生的数学学习方式,变学生被动接受式学习为主动参与式学习,不仅有利于提高学生的整体数学素养,也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次,设计了(1)创设情景(2)观察归纳(3)讨论研究(4)即时训练(5)总结反思(6)任务延续,六个层次的学法,他们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。 教学手段,利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教学。五、教学程序设计: 1、创设情景: 引例:某公司,由于资金短缺,决定向银行进行贷款,双方约定,在3年内,公司每月向银行借款10万元,为了还本付息,公司第一个月要向银行还款10元,第二个月还款20元,第三个月还款40元,……。即每月还款的数量是前一个月的2倍,请问,假如你是公司经理或银行主管,你会在这个合约上签字吗? 这是一个悬念式的实例,后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境,让学生直接参与了“市场经济”。根据心理学,情境具有暗示作用,在暗示作用下,学生自觉不自觉地参与了情境中的角色,这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。 这样引入课题有以下几个好处: (1) 利用学生求知好奇心理,以一个实际问题为切入点,便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。 (2) 在实际情况下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验,同化和索引出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境中。 (3) 问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。 (4) 有利于知识的迁移,使学生明确知识的现实应用性。 在教师的诱导下,学生根据自己掌握的知识和经验,很快建立起两个等比数列的数学模型。数列{an}是以100000为首项,1为公比的等比数列,即常数列。数列{bn}是以10为首项,2为公比的等比数列。 当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候,课题的引入已经水到渠成。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示,正式引入课题。2、讲授新课: 本节课有两项主要内容,等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。等比数列的前n项和公式的推导是本节课的难点。依据如下:(1) 从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中,属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”,突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高,原有知识薄弱,不易理解。这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维,突破教材难点。 等比数列有两大类:公比q=1和q 1两种情形 当q=1时,Sn=na1 当q 1时,Sn=a1+a1q+……+a1qn-1= q 1时,Sn的结果是怎么推导出来的呢?本节课的难点就在于此。预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程,但是他们知其然而不知其所以然,可以说大部分学生根据他们掌握的知识和经验是难以推出这个公式的。 这时候我们可以首先让学生们进行思考,如果运用数学中“从特殊到一般”的数学思想方法,能不能向这个结果靠拢呢?我们不难得到下述结论:S1=a1,S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)……Sn=a1+a2+……+an=a1(1+q+q2+……+qn-1) 不少同学根据这个式子可能会想到 a1(1+q+q2+……+qn-1)= a1(1+q+q2+……+qn-1)(1-q)/(1-q)= 这时我要向学生说明,这种从特殊到一般,逐步归纳的思想方法很好,是我们解决数学问题中经常会运用到的方法。然后又要指出在现阶段,我们还无法对这个过程进行证明,因此它的给出是不严密的。这样不仅让学生再一次体会到数学的最基本特点,严密的逻辑性。也为将来学习二项式展开的内容打下了伏笔。此时,仅仅从形式上进行的归纳在现阶段是无法进行系统而严谨的证明的,那我们只能在思想的过程中另辟蹊径,因此,要通过复习等差数列的求和公式,借助推导等差数列求和公式的思想方法,来找到推导等比数列的前n项和公式的方法! 让学生们一起回忆一下等差数列的前n项和公式的推导过程。可以发现当时我们是将a1与an, a2与an-1,所有与首末等距两项交换位置,得到Sn的倒序和的形式。然后两式相加。这样2Sn就是一个有n 项的每一项都是a1+an的常数列。从而导出了Sn的公式。等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结构和认知水平产生的,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项与项之间的差异,构造一个新的各项相同的常数列,然后根据常数列的和导出 Sn的公式来,其本质特征是等差数列从第二项起,每一项都比前一项多了一个d。 那么等比数列是不是也可以用类似的方法,构造出一个常数列或者部分常数列呢?让学生亲自去试一试,结果呢?这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显然是行不通的。 此时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散--从倒序相加的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问题的心态,及时地通过媒体进行启发。老师要告诉学生,构造常数列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通,那么还有没有其它的方式构造常数列呢? 接着要引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项都是前一项的q倍,也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项,那么将Sn这个和式的两边同时乘以q,在q Sn这个和式中的第一项就是Sn的第二项,也就是Sn和q Sn之间产生了一个错位。由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢?相加行不行?显然不行!相减行不行?显然行。 将Sn和 q Sn相减后,中间就得到了n-1项各项都是0的常数列, 找到了这个常数列,难点就突破了, Sn的导出就容易了,导出了Sn就基本上达到了本节课的认知目标。 为了加深理解,这时还应该对等差、等比两种数列的求和公式的推导过程进行类比和分析: 两种数列求和的基本思路都是构造常数列,构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想。等比数列在构造常数列的过程中,采用“错位相减”,等差数列采用的是“倒序相加”,倒序相加本质上也是“错位相加”,是一种大幅度的“错位相加”,等比数列只不过是步幅为1的小幅度的“错位相加”。说明一下,在Sn的和式中,两边同时乘以q是解决问题--构造常数列的关键所在,是推导等比数列求和公式的一把钥匙。 所以,这两种数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方法上来讲是一致的,但是它们也有差异,即错位的方法不同。正是由于这种差异,教师才有了更大的教学空间。当教师把学生从“倒序相加”的思维定式中引导出来的时候,学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高,思维品质提高了,思维能力也就提高了。这样,这节课的认知目标和素质目标就基本上都达到了。 推导出公式之后,对公式的特征要加以说明,以便学生记忆。同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。帮助学生弄清其形式和本质,明确其内涵和外延,为灵活运用公式打下基础。 有了求和公式后,回头让学生亲自计算一下引例中的钱款数量,从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学,在市场经济中必须有敏锐的数学头脑才行。3.例题讲解。 我们在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解,而及时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题: 1) 等比数列中知三求二的解答题例:求首项为2,公比为2的等比数列的前8项和以及第5项的值。以及书上的例4 2) 实际应用题。例:某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均每年的产量比上一年增加10%,那么从第1年起,约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)? 这样设置主要依据: (1)例题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。 (2)遵循巩固性原则和传授--反馈--再传授的教学系统的思想确立这样的例题。 (3)应用题比较切合对智力技能进行检测,有利于数学能力的提高。同时,它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性。4.形成性练习: 例题处理后,设置一组形成性练习,作为对本节课的实时检测。练习基本上是直接运用公式求和,三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的,有利于提高学生的积极性。学生练习时,教师巡查,观察学情,及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励,对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习,培养学生的应变和举一反三的能力,逐步形成技能。 5.课堂小结 本节课的小结从以下几个方面进行:(1) 等比数列的前n项和公式(2) 公式的推导方法--错位相减法(3) 求和思路--构造常数列或部分常数列。通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学生巩固所学知识,也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。最后用古印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事做为结尾,发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第 1格放入1粒麦粒,第2格放入2粒麦粒,第3格放入4粒麦粒,第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒?再让学生感受一下数学的奇妙,激发他们学习数学的热情。6.布置作业针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的。并可布置相应的研究作业,思考如何用其他方法来推导等比数列的前N项和公式,来加深学生对这一知识点的理解程度。六、教学评价与反馈:根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想,本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略,即“案例-公式-应用”,案例为浅层次要求,使学生有概括印象。公式为中层次要求,由浅入深,重难点集中推导讲解,便于突破。应用为综合要求,多角度、多情境中消化巩固所学,反馈验证本节教学目标的落实。其中,案例是基础,使学生感知教材;公式为关键,使学生理解教材;练习为应用,使学生巩固知识,举一反三。在这三步教学中,以启发性强的小设问层层推导,辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段,改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式,充分体现学生是主体,教师教学服务于学生的思路,而且学生通过“案例-公式-应用”,由浅入深,由感性到理性,由直观到抽象,不仅加深了学生理解巩固与应用,也培养了学生的思维能力。www.shufadashi.com*??*?

请问哪位有关于高一数学数列求和的故事或典故?

我们先来看看等差数列的求和公式。高斯求出1+2++100这个故事,众人皆知,现在大 可以对付那些非常难求和的数列。 然后我们再来看你的等比数列。等比数列比等差也

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传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴,他决定要重赏西塔,西塔说:“我不要你的重赏 ,陛下,只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒,在第2个

等比数列求和说课稿

从使用性能考虑,最好选择小一些,以减少相对转速损失,但越小结构越复杂。

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如等比数列前三项分别为2,4,8 那么公比就为4÷2=2或8÷4=2 q=an/a(n-1) 就是后一项除以前一项。

等比数列和等差数列在历史上哪个出现更早?

长安等差数列进行分级。 若为等差数列,且有ap=q,aq=p.则a(p+q)=-(p+q)。 若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。 等比数列: 如果一个数列从第2项起,每一项与它

等比数列的故事早于等差数列: 如下: 等比数列: 根据历史传说记载,国际象棋起源于古... 百无聊赖,很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情. 国王对这种新奇的游戏很快就产生了...

这是个等比数列题,等你高中学习等比数列的时候,一般都会用这个例子来引出要学的内容。答案如下: 第N格有1*2的N-1次方(等比数列公式)个麦子 地21格有1*2的21-1次方粒

等比数列求和题,谁的超级计算器可以计算出来?

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呵呵~至于你30年后会有多少钱我就没兴趣算了,但我很遗憾地告诉你,你的计算式子错了!!!如果银行像你这样算,即使你每个月存一百万进去,你一辈子都不会有多少钱的,但银行...

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关于等比数列和的公式

1+2+2^2+2^3+……+2^63 =18446744073709551615 这道题有个小故事: 传说西塔 这么一来,国王就欠了西塔好大一笔债。 具体算法 等比数列求和公式 和=首项*(1-公

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等差数列即为前后相差相等的数列,d表示相邻两项后项减前项的差 例如 1,3,5,7,…… 是一个等差数列,d=2 2,2,2,2,…… 是一个等差数列,d=0 8,6,4,2…… 是一个等差数列,d=-2

高一数学中等比数列中的一个小故事关于国王下棋的谁知道具体...

为等比数列 棋盘有64个格 n=64 公比 q=2 Sn=a1-a1*qn/1-q=(2-2*64*2)/1-2 = 254 所以 254*0.02=5.08克= 5.08*10^-3 千克

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例如,在等比数列前n项和公式的教学过程中,教师可这样实施: 1)故事引入 为了激发学 2、22、23、…263形成怎样的数列?生:等比数列,师:什么叫等比数列,如何描述数列1、

为什么机床主运动转速序列一般采用等比数列?选择公比数列有...

这是一个等比数列的问题,仅仅第63个格中,就有2的63次方粒米,比现在中国的粮食储备还多,当然办不到。

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(3)充满生活情趣 2.总领全文 3.奠定感情基调 4.于后文发生某种关系: (1)对比关系(2)铺 求数列通项公式常用以下几种方法: 一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或

求等比数列求和公式,简单点,举个例子

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差数列 比差等数列和比等差数列的区别是什么?分别举个例子,...

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国际象棋的故事

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等差数列是什么意思

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等差数列是什么意思

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第一格放一个麦子,第二格放二个麦子,第三格放四个麦子,以此类...

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什么事等差数列

等差数列即为前后相差相等的数列,d表示相邻两项后项减前项的差 例如 1,3,5,7,…… 是一个等差数列,d=2 2,2,2,2,…… 是一个等差数列,d=0 8,6,4,2…… 是一个等差数列,d=-2

在国际象棋上放小麦,第一个格放1个,第二个里放2个。以后的每...

为等比数列 棋盘有64个格 n=64 公比 q=2 Sn=a1-a1*qn/1-q=(2-2*64*2)/1-2 = 254 所以 254*0.02=5.08克= 5.08*10^-3 千克

如何提高幼儿课堂教学效率

例如,在等比数列前n项和公式的教学过程中,教师可这样实施: 1)故事引入 为了激发学... 2、22、23、…263形成怎样的数列?生:等比数列,师:什么叫等比数列,如何描述数列1、...

大臣立了功,皇上要奖赏他,问他想要什么,大臣就说:“我的要求不...

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求亲们给我发些高中语文阅读答题技巧、各种论据。还有数列求...

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非等差数列找规律

4、7、11、16、22、29. 们关系前差值 1、2、3、4、5、6、7 现能看出差值规律等差数列便于解题了 例题二 1、2、4、8、16、32. 也非等差数列同时也等比数列 前差...

棋盘摆米的故事你得到了什么启发

等比数列求和公式,今天温习了一遍。高斯说“给我最大快乐的不是已有的知识,而是不断地学习”,孔子说“温故而知新,可以为师矣”。以前学等比数列并不知道这样的故事,今...

还是高中数学第一册关于等差等比数列的问题,德国数学家高斯在10岁就会算等差数列前n项和,印度国际象棋发明者深谙等比数列前n项和的威力,惩治了国王。这两个故事就可以使文科生轻松的掌握基本概念,比如,什么是等差数列?什么是等比数列?什么是等比中项、等差中项?如何能准确计算前n项的和等,先看第一个有趣的故事: 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名。高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育。1795~1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯7岁那年,父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学,读书不久,高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋,最能证明这一点的是高斯十岁那年,教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把1到 100的所有整数加起来,教师刚叙述完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101,……共有50对这样的数,用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法,高斯的才华使彪特耐尔十分激动,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了。再看第二个故事: 根据历史传说记载,国际象棋起源于古印度,至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的.据说,有位印度教宗师见国王自负虚浮,决定给他一个教训.他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围,百无聊赖,很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情. 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,高兴之余,他便问那位宗师,作为对他忠心的奖赏,他需要得到什么赏赐.宗师开口说道:请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数,直到最后一个格子第64格放满为止,这样我就十分满足了. “好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求。然而等到麦子成熟时,国王才发现,按照与宗师的约定,全印度的麦子竟然连棋盘一半的格子数目都不够.这位宗师索要的麦粒数目实际上是天文数字。 等差数列前n项和:S=n(a1+an)÷2=100×(1+100)÷2=5050 等比数列前n项和:S=a1(1-q^n)÷(1-q)=2^65-1 这里一定要明白公式的推理过程,怎么得来的前n项和公式,并熟悉各种变化,总之,用两个有趣的故事就可以把高一的等差等比数列问题让学生掌握住。*www.shufadashi.com*?*?

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