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完全正方形是什么 关于完全正方形的详细介绍

完美正方形是一个科技术语。指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形。此概念最早由莫伦提出,完美正方形的最小阶数为21阶。基本信息 中文名:完美正方形 英文名:squaring the square

探究历程

数学家们一度花了很大精力都无任何结果,再加上立方体填充已经被证明不存在,以至于1930年苏联著名数学家鲁金猜想,不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形。

莫伦对此猜想提出了挑战,并提供了一个解决思路:如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分,且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形,那么,这两个剖分再添上两个正方形(它异于两个剖分中的任何一个正方形),便可构造出一个完美正方形。而在此之前,完美矩形已经有了比较丰富的成果。

1939年,斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个55阶的完美正方形,其边长为4205。

几个月后,阶数更小(28阶)、边长更短(1015)的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来。

1948年,威尔科克斯构造出24阶完美正方形,但其中含有一个完美矩形(此类正方形被称为混完美正方形。完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形)。一直到1978年,这个纪录才被打破。

1967年,威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形。

1962年,荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明:

不存在20阶及以下的完美正方形。

1978年,杜伊维斯廷借助计算机技术,成功地构造出一个21阶的完美正方形,它是唯一的,且它不仅阶数最低,同时数字也更简单,此外构造上它也有许多优美的特点,比如2的某些次幂恰好位于一条对角线上,等等。

杜伊维斯廷同时还证明了:低于21阶的完美正方形不存在。

1982年,杜伊维斯廷又证明了:不存在低于24阶的混完美正方形。

1992年,布卡姆和杜伊维斯廷给出了21~25阶全部207个纯完美正方形:

阶数 22 23 24 25 28
个数 1 8 12 26 160

至此,完美正方形的讨论暂时画上一个句号。但数学家的研究并没有停止,他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题,此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱因瓶上,也取得了许多有趣的成果。

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