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数环专业术语是什么 数环是什么意思

数环是一种特殊的数集,由数组成的环,是环的最基本的例子和模型.设P是复数集的非空子集,如果P中任意两个数的和、差、积仍属于P,则称P是一个数环。如全体整数的集合Z,全体有理数的集合Q,全体实数的集合R和全体复数的集合C,分别称为整数环Z、有理数环Q、实数环R和复数环C;对数的加法、乘法均构成环;偶数集是数环,称为偶数环;还有各种代数整数环等,只有数“零”作成的数集0也是数环。基本信息 中文名:数环 应用:数学性质:任何数环都包含数零定义:是数域概念的一个先导概念

基本概念

数环是数集的一种代数结构,至少含一个数的数集S,若对加法、减法、乘法封闭,即对S中的任意二数a、b,a+b、a-b、a·b都在S中,则称S构成 数环。 

图1

图1

如果一个数集中的任意两个数,经过某种运算所得的结果仍是这个数集中的数,那么就说这个数集关于这种运算 封闭

这样,数环就是 关于加法、减法、乘法运算封闭的非空数集。代数学中环的概念正是数环概念的推广和一般化。

数环举例

只由一个数0组成的集合,即{0},也是数环,因为0+0=0,0-0=0,0×0=0,这个数环叫做 零环,它是最小的数环,即其它所有的数环都包含它。

若数环S含非零数a,则S必含无穷多个数。

全体整数集Z是一个数环,因为整数的和、差、积还数,这个数环叫 整数环。

自然数集不是一个数环,因为自然数的差不一定是自然数。

对某个整数n,n的所有整数倍的集合构成数环,特别,n=2,全体偶数集构成数环,称为 偶数环,记做2Z。

全体 有理数集Q、 全体实数集R、 全体复数集C都构成数环,分别称为 整数环Z有理数环Q实数环R复数环C。整数环Z中带余除法定理成立,整数论正是研究整数环性质的有关理论。  

全体奇数集不能构成数环,因为,两个奇数的和不再是奇数。

全体形如3n+2的整数集也不构成数环。

数环

全体形如(m、n为整数)的数集构成数环。

性质

性质1 任何数环都包含数零(即零环是最小的数环)。

性质2 设 S是一个数环,若 aS,则 naS( nZ)。

性质3 若 MN都是数环,则 MN也是数环。

典型例题分析

例1自然数全体对数的四则运算是否形成环或域?

解:自然数全体对数的加法、乘法不形成环,也不形成域。

因为两个自然数相减不一定还是自然数,所以自然数关于数的加、减、乘不形成环,也不形成域。

例2证明,如果一个数环S≠{o),那么S含有无限多个数。

数环

数环

数环

数环

数环

证明:设,由数环的性质,则,从而均属于S,且当时,,从而得证S含有无限多个数。

例3证明,两个数环的交还是一个数环;两个数环的并是不是数环?

数环

数环

数环

数环

数环

数环

数环

数环

证明:(i)设是两个数环,,于是且,从而,且,因此,故是数环。

数环

数环

数环

数环

数环

(ii)两个数环的并不一定是数环,例如,,显然,则,但,故不是数环。  

环是近世代数学中一个重要概念。对一个集规定两种代数运算(通常分别称为加法和乘法),使加法满足结合律及交换律,乘法满足结合律,乘法对于加法满足分配律;这集中还有零元素,就是与集中的任何元素相加结果仍等于该元素的一种元素,井且每个元素都有负元素,任何元素与其负元素相加等于零元素:这种集称为“ ”。如果环的乘法满足交换律,称为“交换环”。以数为元素的环称为“ 数环”;例如,整数的全体构成一个数环。  

关于数域

定义设F是一个数环,如果

(i)F含有一个不等于零的数;

数环

数环

数环

(ii)如果 ,且 ,则 .

那么就称F是一个数域。

数域的一个基本结论任何数域都包含有理数域Q。

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